问题描述

小R拿到了一些正整数，这些正整数都是3的倍数。他需要将每一个数$n$分解为三个3的倍数，并且每种分解方法的顺序不同也视为不同的分解方式。你的任务是帮助小R计算每个$n$可以分解成三个3的倍数的方法数。如果某个数无法分解，则返回0。需要注意的是，分解出的每个数都不能为0。

测试样例

样例1：

输入：n = 9
输出：1

样例2：

输入：n = 12
输出：3

解答：

1
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3
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9
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import math

def solution(n: int) -> int:
    # 如果 n 不能被 3 整除，返回 0
    if n % 3 != 0:
        return 0
    
    # 计算 m = n / 3
    m = n // 3
    
    # 如果 m < 3，无法分解为三个正整数 3 的倍数
    if m < 3:
        return 0
    
    # 返回 C(m-1, 2)，即从 m-1 中选择 2 个 分割位置
    return math.comb(m - 1, 2)

if __name__ == '__main__':
    print(solution(9) == 1)   # 结果为 1
    print(solution(12) == 3)  # 结果为 3

解答思路

  • 我们需要将 n 分解成三个正整数，且每个数都必须是 3 的倍数，且不为零。

  • 假设我们将 n 分解为三个数 a, b, c，使得：

    a+b+c=n

    且每个数 a, b, c 都是 3 的倍数。

    所以，问题转化为：

    3*(x+y+z)=n

    即x+y+z=3/n，其中，x, y, z 都是正整数。

  • 现在，我们需要找到 x + y + z = m 的正整数解的个数，其中 m = n / 3。

  • 对于方程 x + y + z = m，其中 x, y, z 是正整数，该解的个数为 C(m - 1, 2)，即从 m-1 中选择 2 个分隔符。

异常实例处理

  • 当 n 不能被 3 整除时，无法分解成三个 3 的倍数，返回 0。
  • 当 m = n / 3 小于 3时，即无法分解为三个正整数 3 的倍数，返回 0。